Discusiones de bar™ (I). A qué distancia está el horizonte

Hace poco hice la crítica de un libro, el sabelotodo, en el que el protagonista nos hacía reir cuando en las conversaciones metía datos CPI a todas horas. Pues a mi me pasa un poco de lo mismo, en mi modesta escala. Cuando sale un tema de conversación que me interesa, no puedo evitar soltar algún dato CPI, que a veces provoca comentarios despectivos sobre los inconvenientes de tener un amigo geek, y otras (las menos -snif-) provoca interés y ganas de que me explique con mayor detenimiento. Y por ello nacen las Discusiones de bar™, sección que inauguramos con un clásico. ¿Nunca se ha preguntado, estimado lector, a qué distancia está la delgada línea azul del mar cuando uno lo mira desde la orilla? La tendencia es pensar que está, en términos técnicos, "lejos de cojones". Sin embargo, una amena charla aderezada con cervezas y unas servilletas de bar nos harán ver que tampoco es para tanto. Si el horizonte, visto desde la orilla del mar, se estuviera quieto, podríamos caminar hasta él en menos de una hora.

Empecemos:

Servilleta nº1: Sujeto experimental mirando hacia el horizonte.

(Nota: El sujeto experimental no está a escala. Tampoco Escandinavia está a escala, que me ha salido como una hoz. Ni Inglaterra, Baleares o Canarias, que no es que no estén a escala, es que no están; cosas de las prisas y las cervezas).

Seré breve. La distancia que nos interesa hallar es d. Como datos conocidos tenemos la altura del sujeto experimental, que es h, (medida en metros) y el radio de la Tierra, que es R (6.374.000 metros para nuestros propósitos). Aprovechando que R, R+h y x forman un triángulo rectángulo, podemos afirmar sin duda alguna que:

Y ya está. d es la distancia al horizonte (ojo, los ángulos en radianes, para los que se pongan a echar unos cálculos). Haciendo algunas cuentas con la calculadora, podemos comprobar que la distancia al horizonte es de 4'51 km para una persona de 1'60, 4'66km para una persona de 1'70, 4'8 km para una persona de 1'80... Pero esta fórmula también sirve para la Estación Espacial Internacional (ISS), que volando a una altura de 350 km tiene el horizonte a casi 2.100 km. Desde la ventanilla de un avión volando a 10 km de altura, el horizonte está a 357 km.

Lo que ocurre es que es muy difícil calcular un arco coseno de cabeza, por lo que para poder saber más o menos la distancia del horizonte podemos simplificar un poco la fórmula. Esta simplificación sólo vale si h es muy pequeñita, o sea, para calcular la distancia a la que tiene el horizonte una persona de pie (ya no vale para la ISS):

Resumiendo,
Esta última fórmula es bastante más sencilla, y para alturas pequeñas clava a la fórmula exacta hasta el quinto decimal.

Nota: Las Discusiones de bar™ son un homenaje a Eduardo Battaner, gran divulgador y autor del libro Física de las noches estrelladas, cuya lectura recomiendo encarecidamente a todo el que quiera saber quiénes somos, de dónde venimos y a dónde vamos.

Nota 2: Mil gracias, Juanjo y Rita, por vuestra imprescindible colaboración logísitica. La sección y yo os debemos mucho.