Hoy vamos a hablar de un resultado matemático bien conocido, que asegura cosas difíciles de aprehender por nuestro sentido común: El teorema del punto fijo.

Este teorema demuestra que dado un conjunto inicial y uno final y una aplicación que los relacione, siempre que se cumplan ciertas condiciones un tanto abstrusas habrá un punto del espacio inicial que se transforme en él mismo en el espacio final.
Pues vaya rollo, pensarán Uds.
¡Pues no!

Pongamos un ejemplo fácilmente comprensible. Imaginemos una caja de zapatos (sin tapa) sobre cuyo fondo ponemos una hoja de papel, de modo que tape completamente el fondo. El conjunto inicial serán los puntos del folio, y el final serán los puntos del fondo de la caja de zapatos. En lo que nos fijaremos será en la condición "estar encima de". Es decir, que nos vamos a fijar en qué puntos del folio están encima de qué puntos del fondo de la caja de zapatos.

Ahora arrugamos la hoja de papel, la hacemos un gurruño (esta es nuestra aplicación, que transforma la hoja de papel en otra cosa, según unas ciertas condiciones: no vale rasgar ni añadir papel nuevo), y la tiramos dentro de la caja de zapatos. Caerá donde sea, y se quedará apoyada sobre el fondo. Pues el TPF (hay que ver cómo me gustan las abreviaturas, oyes) garantiza que hay al menos un punto de la hoja de papel que sigue estando encima del mismo punto de la caja de zapatos en el que estaba antes de arrugar el folio. ¿Contraintuitivo? ¿Increíble? ¿Curioso pero inútil?

Otro ejemplo de la vida diaria. Tomemos un café con leche, en reposo dentro de su taza. Si suponemos que el café no está compuesto de átomos sino que es un continuo, y si suponemos que nada del café se queda adherido a la cuchara al remover, el TPF nos dice que tras remover y esperar a que el café quede de nuevo en reposo, al menos uno de los puntos del café está en el mismo sitio que estaba antes de remover.

¿Y todo esto para qué sirve? El TPF les sirve mucho a los matemáticos, siempre a la búsqueda de invariantes, esto es, estructuras que permanecen fijas tras transformaciones arbitrarias. En física, los autovectores son objetos que tras una transformación representada por una matriz permanecen constantes salvo una multiplicación por un número. Por inútil que esto parezca, la óptica y la física de materiales, por poner dos ejemplos, deducen gran cantidad de cosas comprobables experimentalmente a partir de los invariantes y los puntos fijos. Cuando la luz atraviesa un cristal (¡ojo! No un vidrio, que es una sustancia amorfa, sino un cristal, cuyo interior está formado por estructuras atómicas perfectamente ordenadas) las direcciones en las que “mejor” se propaga son aquellas de los autovectores de una matriz asociada al cristal.

Como dijo no sé quien:

Dios, si existe, tiene que saber un huevo de matemáticas

Hay un libro de divulgación científica titulado ¿Es Dios un Geómetra?, de Ian Stewart y Martin Golubitsky, en el que se hacen muchas preguntas acerca de por qué demonios hay tantas matemáticas metidas en las tripas del funcionamiento del Universo. Pero el porqué de esta eficacia de las matemáticas para describir el mundo, como diría Michael Ende, es otra historia…

Enlace permanente. Escrito por Remo a las 17:00